Теорема вертикальных углов

Свойство биссектрисы угла Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом. Определение 1. Углом называют фигуру, состоящую из точки - вершины угла - и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла. Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы.

Доказать свойство вертикальных углов

Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла. Смежные углы — Agles adjacets такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 — дополнительные полупрямые.

Смежные и вертикальные углы

Но какую бы теорему вы не доказывали, вы всегда будете возвращаться к первому опросному листу и формулировкам, представленных в нем. Рекомендации по работе со вторым опросным листом. С одной стороны, ваша задача становится проще - вам уже не нужно самостоятельно делать чертежи, они представлены ниже для каждого вопроса, с необходимыми достроениями.

Ваша задача - прочитать формулировку, далее, читая доказательство, постепенно делать чертеж, так как необходимые построения появляются по мере доказательства. Далее по чертежу вы пытаетесь самостоятельного доказать теорему, сверяетесь с ответами.

И в завершении вы должны уже без чертежа сначала сказать название теоремы к примеру, теорема о пересечении сторон треугольника , далее сказать точную ее формулировку если прямая не проходит через вершину треугольника и пересекает одну из его сторон, то она непременно пересекает еще одну сторону треугольника, но только одну , далее сделать чертеж и провести доказательство.

Опять же вам в помощь видео В. Обратите внимание! Данный метод направлен на долговременное запоминание, и крайне важно, чтобы вы помнили четкие формулировки, иначе бессмысленно тратить время. В геометрии лишь малую часть можно сказать своими словами, основное - это точные термины и теоремы. Представьте своеобразный математический диктант. Теорема о пересечении сторон треугольника. Теорема о свойстве смежных углов. Теорема о единственности восставленного перпендикуляра.

Теорема о свойстве вертикальных углов. Первый признак равенства треугольников. Второй признак равенства треугольников. Теорема о свойстве равнобедренного треугольника. Обратная теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника. Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников Погорелов, Киселев.

Теорема о двух прямых, параллельных третьей. Теорема о двух перпендикулярах к одной прямой. Сумма углов треугольника Киселев. Признак параллельности прямых Погорелов. Признак параллельности прямых Атанасян. Теорема о пересечении двух параллельных прямых третьей. Теорема о единственности опущенного перпендикуляра Погорелов. Теорема о единственности опущенного перпендикуляра Атанасян. Первые три признака равенства прямоугольного реугольника.

Четвертый признак равенства прямоугольного треугольника. Теорема о свойстве касательной. Обратная теорема о касательной. Теорема о свойстве точек срединного перпендикуляра. Теорема о свойстве точек биссектрисы угла. Первая замечательная точка треугольника. Вторая замечательная точка треугольника. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Если прямая не проходит через вершину треугольника и пересекает одну из его сторон, то она непременно пересекает еще одну сторону треугольника, но только одну.

Пусть прямая пересекает сторону АВ. Тогда точки А и В лежат в разных полуплоскостях. Если вершина С находится в одной полуплоскости с вершиной А как на чертеже , то вершина В будет находиться в другой полуплоскости. Отсюда с АС не пересекается, с ВС пересекается. Вершина С на прямую лечь не может, так как по условию прямая не проходит через вершину.

Сумма смежных углов равна 180 градусов. У смежных углов одна сторона общая, а две другие — дополнительные полупрямые. Они образуют развернутый угол, который равен 180 градусов. И внутри этого угла проходит луч, который делит его на две части, сумма градусных величин которых равна градусной мере этого угла, то есть 180 градусов.

Из данной точки на данной прямой к данной прямой в данной полуплоскости можно восставить только один перпендикуляр. От левой полупрямой отложим угол 90 градусов. Значит можно восставить перпендикуляр. От правой полупрямой отложим угол 90 градусов.

Если предположить, что перпендикуляры не совпадут, то образуется три угла по 90 градусов. Третий — смежный с первым, тогда получается, что от правой полупрямой в верхней полуплоскости отложены два угла по 90 градусов, чего быть не может.

Вертикальные углы равны. Углы 1 и 3 смежные. Их сумма 180 градусов. Углы 2 и 3 — смежные, их сумма 180 градусов. Приравниваем левые части и получаем, что углы 1 и 2 равны. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Совмещаем точки А и А1.

Луч АС совместим с лучом А1С1. На данной полупрямой от ее начала можно отложить только один отрезок данной линейной меры. От данной полупрямой от ее начала в данной полуплоскости можно отложить только один угол данной градусной меры.

А через две точки можно провести только одну прямую. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольник, то такие треугольники равны. От начала данной полупрямой в данной полуплоскости можно отложить только один угол данной градусной меры.

Но два луча могут пересечься только в одной точке. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Они равны по двум сторонам и углу между ними, а в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный. Развернем его на 180 градусов, совместив основания, и получим треугольник СкрВАкр. Получим два треугольника, которые равны по стороне и двум прилежащим углам. Медиана угла при вершине равнобедренного треугольника является одновременно биссектрисой и высотой.

Угол АМС — развернутый, отрезок делит его на два равных угла, каждый из которых равен 90 градусам, следовательно, ВМ — высота. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй треугольник прикладываем основанием А1С1 к основанию АС и, если вершина В совместится с вершиной В1, то доказывать нечего. Если нет, то образовались два равнобедренных треугольника с равными углами при основании, и теперь заданные треугольники равны по первому признаку.

Метод от противного. Совместим основания треугольников. Если вершины В и В1 совпадут, то и доказывать нечего. Проведем в них медианы к основаниям, и обе они должны быть перпендикулярами из одной точки в В1В2, что невозможно. Если две прямые порознь параллельны одной и той же третьей, то они параллельны между собой.

Если эти две прямые пересекутся, то через точку плоскости пройдут две прямые, параллельные одной и той же третьей. Два перпендикуляра к одной прямой параллельны. Предположим, что перпендикуляры пересекутся, и отобразим чертеж зеркально в нижнюю полуплоскость. Получилось, что через две точки проходят две различные прямые. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Проведем через вершину треугольника прямую, параллельную основанию. Таким образом, найдем две пары равных накрест лежащих углов, а третий угол развернутого угла равен углу при вершине треугольника.

Градусная мера развернутого угла равна 180 градусам, а, следовательно, и сумма углов треугольника равна 180 градусам. Если при пересечении двух параллельных прямых третьей окажется, что какие-нибудь накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Пусть синие накрест лежащие углы равны, а прямые все же пересеклись.

Тогда красные углы в них равны. Значит, прямые пересечься не могут. Остальные признаки сводятся к доказательству о накрест лежащих углах соответственные через вертикальные сводятся к накрест лежащим, а односторонние через смежный угол.

Если при пересечении двух параллельных прямых третьей окажется, что какие-нибудь соответственные углы равны, то такие прямые параллельны. Если при пересечении двух параллельных прямых третьей окажется, что какие-нибудь односторонние углы в сумме дают 180 градусов, то такие прямые параллельны.

2. Смежные и вертикальные углы. Правила

Но какую бы теорему вы не доказывали, вы всегда будете возвращаться к первому опросному листу и формулировкам, представленных в нем. Рекомендации по работе со вторым опросным листом. С одной стороны, ваша задача становится проще - вам уже не нужно самостоятельно делать чертежи, они представлены ниже для каждого вопроса, с необходимыми достроениями. Ваша задача - прочитать формулировку, далее, читая доказательство, постепенно делать чертеж, так как необходимые построения появляются по мере доказательства.

Тест репетитора на смежные и вертикальные углы

Нравится Вопрос 1. Какие углы называются смежными? Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. На рисунке 31 углы a1b и a2b смежные. У них сторона b общая, а стороны a1 и a2 являются дополнительными полупрямыми. Вопрос 2. Теорема 2.

Теорема о вертикальных углах

Треугольники Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. Луч ОВ см. Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны. Вертикальные углы равны Рис. Теорема 2.

Что можно сказать о вертикальных углах, каким свойством они обладают? Верно! Давайте докажем это. Итак, теорема: Вертикальные углы равны. Теперь доказательство теоремы: Вертикальные углы равны! Представь углы 1, 3 и 2, 4. Угол 2 является смежным как с углом 1 так и с. Смежными называются углы, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой (являются дополняющими лучами).

.

Угол. Свойства смежных и вертикальных углов.

.

Вертикальные углы. 7-й класс

.

Н.Никитин Геометрия. Смежные и вертикальные углы, их свойства

.

.

.