Решение примера 8 класс алгебра

Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. Деление дробей 8. Рациональные числа 11. Квадратные корни.

Решение рациональных уравнений

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями. При этом произведение одинаковых множителей может быть записано в виде степени. К целым выражениям относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля. Выражения, составленные из чисел и переменных, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на выражение с переменными, называют дробными выражениями. Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Алгебра 8 класс. Правила, задачи, примеры

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями.

При этом произведение одинаковых множителей может быть записано в виде степени. К целым выражениям относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля. Выражения, составленные из чисел и переменных, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на выражение с переменными, называют дробными выражениями. Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных. Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых для них значениях переменных, называют тождественно равными, а замену одного выражения другим, тождественно равным ему, — тождественным преобразованием выражения.

Одночленами называют произведения чисел, переменных и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например, степень одночлена 9а7b равна 8. Многочленом называется сумма одночленов. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена. Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Любое целое выражение можно представить в виде многочлена. Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго минус куб второго выражения.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Разложением многочлена на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов. Для разложения многочленов на множители применяют вынесение множителя за скобки, группировку, используют формулы сокращённого умножения. Это равенство сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причём b и c — ненулевые многочлены. Основное свойство дроби используется при сокращении дробей.

Действия над рациональными дробями выполняются аналогично действиям над обыкновенными дробями. Например: Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Например: б Чтобы выполнить сложение или вычитание дробей с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю и затем применить правило сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби. Например: Любое рациональное выражение можно представить в виде рациональной дроби.

Степень с целым показателем. Свойства степени с целым показателем. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели степеней перемножают. При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

При возведении в степень дроби возводят в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записывают в числителе, а второй — в знаменателе дроби. Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которого равен а.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Свойства арифметического квадратного корня. Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются рациональными.

Если и левая и правая части рационального уравнения являются целыми выражениями, то уравнение называют целым. Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.

Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Каждое из них имеет два корня: —6 и 6. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными. Уравнения обладают следующими свойствами: если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Число а называется коэффициентом при переменной, число b — свободным членом. Число а называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом и с — свободным членом. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

Такие уравнения обычно решают разложением их левой части на множители. Теорема Виета: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. При решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать следующим образом: найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; умножить обе части уравнения на общий знаменатель; решить получившееся целое уравнение; исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решим, например, уравнение Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Это решение можно записать так: —5; 3. Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения, не имеющие решений, также считают равносильными.

Каждое решение х; у уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки образуют график уравнения. Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы уравнений, не имеющие решений, также считают равносильными. Для решения систем уравнений с двумя переменными используются графический способ, способ подстановки, способ сложения. При графическом способе строят графики линейных уравнений прямые и анализируют их расположение: если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений, причём координаты любой точки прямой являются решением системы; если прямые параллельны, то система не имеет решений; если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение, причём координаты точки пересечения прямых являются решением системы.

При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки поступают следующим образом: выражают из какого—либо уравнения системы одну переменную через другую; подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение; решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной. При решении системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом сложения поступают следующим образом: умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали в уравнениях противоположными числами; складывают почленно левые и правые части уравнений системы; решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют значение найденной переменной в одно из уравнений и находят соответствующее значение другой переменной.

Свойства числовых неравенств. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Сложение и умножение числовых неравенств.

Если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых положительные числа, то получится верное неравенство.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Этому неравенству удовлетворяет и любое другое число, меньшее 2.

Решить неравенство с одной переменной — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными.

Неравенства с одной переменной обладают следующими свойствами: если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если ставится задача найти общие решения нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему неравенств — значит найти все её решения или доказать, что решений нет. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Независимую переменную х иначе называют аргументом, а о зависимой переменной у говорят, что она является функцией этого аргумента.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Её областью определения является множество всех действительных чисел. Графиком линейной функции является прямая.

Графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые коэффициенты одинаковы.

Программа по математике за 8 класс

Вопрос: а если нам дано не приведенное квадратное уравнение? Нам дано полное квадратное уравнение. По теореме Виета сумма корней равна 2,5; произведение корней равно -3,5. Найти: Преобразуем это равенство и, заменив по теореме Виета сумму корней через -p, а произведение корней через q, получим еще одну полезную формулу.

Алгебра 8 класс

На этом сайте вы найдете репетитора! Здесь вы найдете подходящего репетитора быстро, удобно и бесплатно. Оставьте заявку или позвоните нам. Мы подберем репетитора, учитывая все пожелания. Или найдите репетитора в нашей базе самостоятельно, используя фильтр слева. Получите консультацию по телефону. Мы всегда рады проконсультировать Вас по вопросам образования. Задайте свои вопросы профессионалам.

.

Даем список тем, а также общая характеристика программы 8 класса по Решение задач с помощью квадратных уравнений: алгоритм и примеры. Краткий курс алгебры за 8 класс. .. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая. Продолжительность:

.

.

.

.

.

.

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Сократить дробь алгебра 8 класс