Логарифмические уравнения с параметром

Разделы: Математика 1. Ясно, сто написать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых, или при переходе через которые, происходят качественные изменения уравнения.

Методическая разработка для учащихся 11-го класса «Решение логарифмических уравнений с параметрами»

Однако его следует вести к цели не с завязанными глазами, а зрячим: он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен ее открывать. Учитель должен руководить этой экспедицией открытий, следовательно, также присутствовать не только в качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать свои силы; ему ничто не должно доставаться даром. Дается только тому, кто стремится. Для тех, кто готовится к поступлению в высшие учебные заведения.

логарифмические уравнения с параметрами

Темы данного раздела весьма объемные, поэтому одна тема может изучаться на нескольких уроках. Кроме того работа может строиться на творческой основе, когда каждому учащемуся или группе учащихся предлагался определенный набор задач по теме.

Тема 2. В нем, прежде всего, нужно обратить внимание учащихся на необходимость отдельного рассмотрения различных случаев значений параметров и причин этого. Так, в задаче 1, необходимо отдельно рассмотреть случаи отрицательного, нулевого и положительного значений параметра, поскольку в каждом из этих случаев существенно меняется ход решения.

Также необходимо акцентировать внимание на правильной записи ответа: в ответе последовательно перечисляются все существенно различные по ответу группы значений параметра, и для каждой такой группы выписывается найденный в решении ответ. Важно разъяснить учащимся, что разбиение значений параметра на группы происходит в ходе решения задачи, по мере совершения упрощающих неравенство преобразований.

Начиная разбор таких задач, необходимо напомнить учащимся определение функции модуль и коротко освежить в их памяти общую методику решения неравенств с модулем. При разборе задач необходимо обратить особое внимание на необходимость разбиения числовой оси на промежутки, на каждом из которых в дальнейшем происходит раскрытие всех знаков модуля и решение получившихся неравенств. Не менее важно предупредить учащихся о недопустимости еще одной распространённой ошибки: многие забывают затем произвести отбор решений путем пересечения полученных ответов с той областью, на которой осуществлялось раскрытие модулей.

В основе решения таких неравенств лежит метод интервалов, поэтому, начиная изучать материал урока, необходимо напомнить учащимся суть метода интервалов.

При разборе задач важно акцентировать внимание на необходимости тщательного и полного перебора всех возможных различных случаев взаимного расположения нулей числителя и знаменателя рациональной дроби.

Также важно требовать, чтобы учащиеся определяли знак дроби на каждом из полученных после нанесения нулей интервалов, поскольку частой ошибкой является бездумное нанесение знаков путем их механического чередования, что недопустимо.

Наконец, необходимо акцентировать внимание на правильной записи ответа: в ответе последовательно перечисляются все существенно различные по ответу группы значений параметра, и для каждой такой группы выписывается найденный в решении ответ. Поэтому в начале урока важно подчеркнуть на примерах опасность сравнения чисел путем бездумного возведения их в квадрат и возникающие при этом ошибки.

Затем стоит напомнить учащимся две основные схемы решения иррациональных неравенств, позволяющие избегать возведения в квадрат левой и правой частей неравенства в случае, когда эти части имеют различные знаки. При разборе задач важно несколько раз подчеркнуть, что только выполнение решения по схеме позволяет избежать ошибок.

Не менее важно умение правильно разбить все возможные значения параметра на группы существенно различных по способу решения случаев и отдельно разобрать каждый из таких случаев. Поэтому в начале урока необходимо напомнить учащимся строение области определения и множества значений показательной и логарифмической функций, а также их свойство монотонности.

Также стоит напомнить общие принципы решения неравенств с монотонной функцией. При разборе задач важно указывать, какую роль в решении играет использование особенностей строения области определения и множества значений той или иной функции.

Не менее важно акцентировать внимание учащихся на изменении характера монотонности показательной и логарифмической функций в зависимости от значения их основания. Также, необходимо обратить внимание на правильную запись ответа: в ответе последовательно перечисляются все существенно различные по ответу группы значений параметра, и для каждой такой группы выписывается найденный в решении ответ.

Уроки 2. Поэтому в начале урока необходимо напомнить учащимся строение множества значений основных тригонометрических функций и подчеркнуть свойство их периодичности, которое влечет свойство периодичности в строении решений неравенств. Кроме того, в некоторых задачах этих двух уроков используются обратные тригонометрические функции, поэтому перед разбором таких задач следует напомнить учащимся свойства обратных тригонометрических функций, существенные для данной задачи.

При рассмотрении неравенств уместно использовать графические иллюстрации с привлечением понятия тригонометрического круга или графиков соответствующих функций, что облегчит учащимся понимание материала.

Важно следовать предложенному в части 2 порядку изучения уроков, поскольку в Уроках 2. В примере 2 урока 2. Целесообразно напомнить учащимся этот прием, поскольку он довольно труден для понимания и нередко плохо усваивается. Если ранее это тождество учащимися не рассматривалось, то необходимо доказать его отдельно перед разбором соответствующей задачи.

Наконец, как и в предыдущих уроках, необходимо обратить внимание на правильную запись ответа: в ответе последовательно перечисляются все существенно различные по ответу группы значений параметра, и для каждой такой группы выписывается найденный в решении ответ. Поэтому, прежде, чем начать рассмотрение задач этих уроков, учащимся полезно напомнить формулировку самой теоремы Виета. Не менее важно отметить скрытое "коварство" соотношений между корнями и коэффициентами квадратного уравнения: сами по себе эти соотношения еще не обеспечивают существования корней квадратного уравнения, поэтому их нельзя использовать, не убедившись предварительно тем или иным способом в существовании корней.

Кроме того, в формулировках и в решениях некоторых задач используются различные выражения, содержащие корни x1 и x2 квадратного уравнения.

Учащиеся, которые еще не приобрели достаточный опыт в использовании т. Для удобства таких учащихся в начале урока полезно привести таблицу преобразований некоторых часто встречающихся выражений слайд.

Также важно акцентировать внимание учащихся на возможности управлять с помощью теоремы Виета знаками корней квадратного уравнения и другими соотношениями между корнями.

Не менее существенно отмечать при рассмотрении каждой задачу общую специфику решения задач с параметрами: рассмотрение различных множеств значений параметра, диктуемое особенностями хода преобразований уравнений и неравенств в задаче, а также правильную форму записи ответа с перечислением всех возможных различных случаев значений параметра. Тема 3. В начале урока важно разъяснить учащимся общую суть метода.

Конечно, умение правильно выбирать три подходящие точки появляется не сразу, а после решения достаточного количества примеров. Кроме того, применение этого метода каждый раз требует отдельного обоснования достаточности проверки условия задачи только в трёх выбранных точках. Такой подход позволит учащимся наиболее быстро приобрести необходимые навыки для успешного самостоятельного применения этого приёма.

В таких случаях будет очень полезно перед решением конкретной системы напомнить учащимся общие принципы решения систем неравенств и правило раскрытия модуля.

Кроме того, в большинстве задач приходится отдельно проверять достаточность найденных из исходных необходимых условий значений параметров. В таких случаях важно акцентировать внимание учащихся на используемом в задаче подходе раздельного использования необходимых и достаточных условий. Уроки 3. Поэтому в начале урока полезно напомнить учащимся о важности свойства симметрии в природе и в геометрии. Также полезно привести в качестве примеров симметрии в алгебре несколько четных и нечетных функций, проиллюстрировав возникающую симметрию на графиках этих функций.

Затем важно описать общую методику решения задач с параметрами с использованием алгебраической симметрии: иногда уравнение, неравенство, система уравнений обладает свойством алгебраической симметрии, то есть не меняет своего вида при какой-либо циклической замене переменных местами, изменения их знаков и.

Симметрия алгебраического выражения влечет особенности в строении решений соответствующего уравнения, неравенства, системы уравнений, что нередко обыгрывается в условии задачи накладывается, например, требование единственности решения, наличие определенного числа решений и т. Как правило, учащиеся исходно не имеют достаточного опыта в обнаружении свойства той или иной симметрии алгебраических выражений.

Для удобства таких учащихся в начале урока полезно представить в целях дальнейшего использования краткую сводную таблицу некоторых часто встречающихся симметрий.

В ходе разбора примеров там, где это возможно, также полезно прибегать к графической иллюстрации возникающих симметрий путем построения графиков соответствующих функций или изображения на чертежах рассматриваемых фигур. После разбора нескольких примеров важно сделать следующие обобщающие методику выводы. В решении задач с использованием алгебраической симметрии обычно выделяются следующие два логических этапа: Учитывая условие единственности решения определенного числа решений и т.

На втором этапе проверяется достаточность. Обычно при этом последовательно делается подстановка параметров, отобранных в пункте 1, в исходное уравнение, неравенство, систему и проверяется выполнение условия задачи.

Иногда, чтобы выявить симметрию выражения, требуется предварительно его преобразовать задачи со скрытой симметрией. Важно сформировать у учащихся на этом этапе правильное понимание раздельного использования необходимых и достаточных условий. Такой необычный с точки зрения традиционной школьной математики подход может с самого начала вызвать у учащихся непонимание и даже отторжение, поэтому стоит предварить разбор задач вводными словами о методе и сразу же проиллюстрировать сам метод разбором несложных примеров примеры 1 и 2 из Урока 3.

После разбора этих примеров полезно подвести промежуточные итоги, обобщающие методику применения метода: иногда, решая уравнение с параметром, бывает удобно рассмотреть параметр как новую неизвестную величину и решить предложенное уравнение относительно параметра, избегая алгебраических сложностей, связанных с решением этого уравнения относительно исходной неизвестной.

Здесь же уместно отметить известные сложности в его применении, связанные с развитием у учащихся мешающих им стереотипов, вызванных традиционностью в обозначениях переменной величины и параметра — не всегда в условии символ х обозначает неизвестную величину, которую нужно найти, а символ a — параметр!

Иллюстрацией тому служит пример 3 из Урока 3. Задачи, собранные в Уроке 3. В Уроке 3. В ходе этого урока учащимся потребуются навыки построения геометрических мест точек координатной плоскости, заданных неравенствами на координаты этих точек. Если учащиеся на момент разбора задач Урока 3. Подытоживая разобранную методику, важно отметить основные признаки, которые нередко подсказывают необходимость её применения.

Метод решения относительно параметра удобно применять, когда Выражение имеет высокую степень, как многочлен относительно переменной и одновременно является линейным или квадратным выражением относительно параметра.

Если формулировка задачи подсказывает, что переменную по смыслу задачи удобно считать параметром, а параметр — считать переменной. Поэтому перед разбором предложенных в этих уроках задач следует напомнить учащимся, как выглядят и какими особенностями обладают графики основных изучаемых в курсе алгебры функций и геометрические места точек, координаты которых связаны несложными алгебраическими уравнениями.

Для облегчения дальнейшей работы с учащимися рекомендуется использовать приведенную таблицу таких соотношений и соответствующих им геометрических образов. Первые задачи Урока 3.

В этом случае целесообразно в самом начале решения задачи воспользоваться геометрической иллюстрацией кривых семейства, которая позволит учащимся отчетливее осознать характер изменений в положении этих кривых с изменением значений параметра.

Также важно продемонстрировать учащимся, что в решаемых этим методом задачах нередко бывает удобно использовать элементарные геометрические формулы и приёмы для вычисления требуемых значений параметров. Поэтому целесообразно начать этот урок с краткого напоминания учащимся строения областей определения и множеств значений некоторых часто встречающихся в задачах функций. Для облегчения дальнейшей работы с учащимися рекомендуется использовать таблицу строения областей определения и множеств значений таких функций.

Кроме того, важно напомнить учащимся список часто применяемых классических неравенств. В случае, если какие-либо из этих неравенств оказались неизвестны учащимся, рекомендуется доказать их или указать коротко путь такого доказательства. После разбора двух-трех примеров следует подытожить проделанную работу, указав на общность использованной при их решении методики.

При разборе оставшихся задач урока следует вновь демонстрировать учащимся конкретные реализации общей схемы решения подобных задач. Так как название урока не вполне проясняет учащимся, какой метод будет использоваться при решении задач, рекомендуется в начале урока сразу же пояснить суть этого метода: в условии некоторых нестандартных задач одному из параметров или переменной разрешается принимать всевозможные значения из некоторого множества свободный параметр, переменная.

При этом обычно требуется отыскать такие значения другого параметра, при которых выполняется определенное условие. Иногда подобные задачи можно решить по следующей схеме: Придавая свободному параметру специальные значения, добиваются упрощения выражения, после чего находят необходимое условие на искомый параметр. Подстановкой найденных значений искомого параметра и проверкой требуемого условия изучают достаточность полученных значений.

Далее следует разобрать несколько примеров, в каждом из которых проиллюстрировать конкретную реализацию только что описанного общего метода. При этом важно разъяснить учащимся достаточно сложную логическую структуру используемых решений, в которых раздельно используются необходимость и достаточность различных условий.

Не менее существенно научить учащихся правильно и рационально с точки зрения сложности получаемых дальнейших вычислений выбирать начальные значения свободных параметров. В начале урока целесообразно разъяснить учащимся, что некоторые алгебраические уравнения или неравенства бывает проще решить, если предварительно заменить в них числовые коэффициенты или члены параметрами, хотя в исходной постановке задачи параметр не упоминается.

Далее целесообразно начать разбирать с учащимися задачи из урока, и для каждой из них комментировать, какие особенности её условия обеспечивают удобство применения данного метода.

Важно акцентировать внимание учащихся на том, каких именно алгебраических трудностей удается избежать путем введения параметра. Следует также отметить, что после введения параметра для решения полученных после введения параметра уравнений и неравенств с параметром используются методы, рассмотренные в предыдущих уроках.

Поэтому при использовании ранее отработанного приема важно еще раз напоминать учащимся его суть, что будет способствовать дополнительному закреплению полученных ранее навыков. Поэтому в начале урока целесообразно сначала напомнить учащимся общее определение монотонности, а затем указать, какими свойствами монотонности обладают основные классы изучаемых в курсе алгебры элементарных функций.

Кроме того, для лучшего понимания разбираемых в дальнейшем примеров, полезно сразу же сформулировать лежащий в их основе общий принцип решения неравенств с монотонными функциями. Затем нужно продемонстрировать этот общий принцип, разбирая предложенные в уроке 3. Перед разбором задач 2, 3, 4 необходимо ознакомить учащихся с лежащим в основе их решения общим принципом.

Содержание:

Системы уравнений и неравенств. Задачи единого государственного экзамена ЕГЭ по математике. Ответы Задачи с параметрами.

Методическая разработка для учащихся 11-го класса "Решение логарифмических уравнений с параметром"

Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Алгебраические уравнения и неравенства с одной переменной. Системы алгебраических уравнений и неравенств. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Задачи на составление уравнений и неравенств. Примеры решения задач. Контрольные вопросы. Задачи для самостоятельного решения.

Логарифмические уравнения с параметром

Но ученик должен напрягать свои силы; ему ничто не должно доставаться даром. Дистервег не проводит время в праздности. В структуре методической разработки рассматриваются три типа решения логарифмических уравнений с параметрами: Уравнения, содержащие параметры в логарифмируемом выражении. Уравнения, содержащие параметры в основании. Уравнения, содержащие параметры и в основании, и в логарифмируемом выражении.

Продолжительность: Рабочая тетрадь включает следующие разделы: «Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами», «Показательные уравнения и. Логарифмические уравнения, содержащие параметр Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению.

.

Логарифмы с параметрами

.

1.5.6 Логарифмические уравнения с параметром

.

.

.

.

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Урок 10. С6 ЕГЭ 2015. Замена переменной. Логарифмические уравнения с параметром #2